数学相关:求抽象函数定义域

初中我们就接触过函数,现在我们把它用高中的语言再说一遍。

A,B是两个给定的非空数集,按照某种确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数f\left(x\right)与之对应,我们把这种对应f:x\to y=f\left(x\right),x\in A叫做从集合A到集合B的一个函数,记作y=f\left(x\right),x\in D,若省略定义域,则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。

函数有两种形式,一种是具体的,即有解析式的,另一种是我们今天重点说的,抽象的,即没有具体解析式的。函数有三个要素,定义域对应法则值域。以及四个性质,单调性奇偶性周期性对称性

这篇文章会先把前三个讲掉。

首先是三个要素。如果两个函数的三要素都完全相同,那么这两个函数相等。其中,定义域指该函数的有效取值范围,即使函数有意义的自变量的范围。一般来说,一个函数的取值范围都是比较连续的,可以用一个范围来表示。比如自变量从3到5,5可以取到而3取不到,就可以写成\left\{x\mid 3<x\leq 5\right\},或者使用区间来表示就是\left(3,5\right]。如果19以上的值都可以取并且包括19,区间就可以写成\left[19,+\infty\right)。即任意描述法中的条件是不等式的集合,都可以写成一个区间。一个不等式中,不带等号的一端用圆括号(小括号),带等号的一端用方括号(中括号)。特别地无穷的那一端只用圆括号[1]。实数集\mathbb{R}就可以表示为\left(-\infty,+\infty\right)。但是如果一个函数的取值不连续,比如从1到2,从5到6都可以,其中2和5可以取,但是其他不行,此时一个区间便不行了,我们要用集合的运算,并集运算,来表示,即\left(1,2\right]\cup\left[5,6\right)。对于\left\{x\mid x\neq 2,x\neq3\right\}则可以写为\left(-\infty,2\right)\cup\left(2,3\right)\cup\left(3,+\infty\right)

[1]:Photomath中使用尖角括号。不同国家可能有不同标准。

如果我们知道了一个函数的解析式,我们可以直接观察表达式。初中学过的共有三个:

  • 分式中的分母不为零
  • 偶次根式的被开方数大于等于零
  • 零次幂的底数不为零

比如求函数f\left(x\right)=\dfrac{\left(2x+3\right)^0}{\sqrt{\left|x\right|-x}}的定义域。

观察可得\begin{cases} 2x+3\neq 0\\ \left|x\right|-x\geq 0\\ \left|x\right|-x\neq 0 \end{cases}

解得\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{3}{2},0\right)

现在我们来思考一个问题。

f\left(x\right)=\sqrt{x},可得x\geq 0

代入两个代数式,可得

f\left(2x+1\right)=\sqrt{2x+1},2x+1\geq 0.

f\left(3x-2\right)=\sqrt{3x-2},3x-2\geq 0.

现在我们遮掉所有的解析式,可得f\left(g\left(x\right)\right)g\left(x\right)的取值范围,同时也是f\left(h\left(x\right)\right)h\left(x\right)的取值范围。有必要注意的是,定义域是指x的取值范围,所以我们要从x的范围中反推出一个关于g\left(x\right)的不等式,再将其替换为h\left(x\right)

比如,已知函数f\left(x+1\right)的定义域为\left[2,3\right),求f\left(2x-1\right)的定义域。

\because f\left(x+1\right)的定义域为\left[2,3\right)

\therefore 2\leq x<3.

\therefore 3\leq x+1<4.

\therefore 3\leq 2x-1<4.

解得2\leq x<\dfrac{5}{2}.

\therefore f\left(2x-1\right)的定义域为\left[2,\dfrac{5}{2}\right).

讲完了拜。

Lake桑

2019.7.22

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数学相关:集合的一角

集合是高中数学的一个重要概念。数学必修一的第一节课就是集合。而在小学与初中的学习中我们其实已经接触到了很多集合,例如:

  • 整个自然数集
  • 一个不等式的解集
  • 到一定点距离等于定长的所有点的集合(即一个圆)
  • 到一条线段的两个端点距离相等的所有点的集合(即该线段的垂直平分线)

一般地,我们把我们的研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称为。通常用大写字母表示集合,小写字母表示集合中的元素。

一、元素与集合的关系

如果a是一集合A的元素,就说a属于集合A,记作a\in A。而如果a不是,就说a不属于集合A,记作a\notin A

集合要满足三个条件,同时也是集合中元素的特性,即确定性,互异性和无序性。

1. 确定性

确定性就是说,一个集合中的元素是确定的,没有争议。比如,我们想设一个集合,叫“好看的人”。由于无法确定多好看算好看,这个集合就无法确立,也就是不存在。如果一定要有一个这样的集合,我们也必须添加条件,使其更加精确,比如规定两个眼球的直线距离在某个确定的数值范围内,腿长与全身身高的比值在某个确定的数值范围以内,等等满足以上所有条件的人的集合称为集合“好看的人”。

2. 互异性

互异性就是说,集合中的每个元素都不是重复的。比如说方程x^2+2x+1=0的解组成的集合,由于这个方程存在两个相等的实数解,即x_1=x_2=-1,所以以上集合仅存在一个元素,即-1,不会出现两个。

3. 无序性

无序性就是说,集合中元素的顺序不影响集合本身,比如把1、2、3组成一个集合,和把3、2、1组成一个集合,这两个集合是一样的,也就是这两个集合是相等的。

二、常见的数集

数学中存在一些常用的集合。比如由全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(自然数集),记作\mathbb{N}。(实际书写可以直接写一个大写字母N,以下同理。印刷时使用黑板体或者粗体。)

所有正整数组成的集合叫做正整数集,记作\mathbb{N}^*\mathbb{N}_+

全体整数组成的集合叫做整数集,记作\mathbb{Z}

全体有理数组成的集合称为有理数集,记作\mathbb{Q}

全体实数组成的集合叫做实数集,记作\mathbb{R}

三、集合的表示方法

以上我们描述一个集合都是用自然语言描述出来的,即自然语言法

除此以外,如果集合的元素有限,也比较少,还可以把所有元素列举出来,即列举法。比如表示从一到十的所有整数,就可以列举出来。将所有元素用逗号连接,在最外层写上花括号,即:

\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

但是有时集合中的元素无法列举(集合有限但元素过多,或者是个无限集),我们就要用他们的共同特征来描述这个集合,即描述法。还是上面的集合,用描述法就可以表示为\{x\in\mathbb{Z}\mid 1\leqslant x \leqslant 10\}

形如\{x\in A\mid p\left(x\right)\}的集合,意思为“使命题p\left(x\right)为真的集合A中诸元素之集合”,其中竖线左边的是代表元素,如果代表元素属于实数集则可省略“属于”的部分。如果这个集合中的元素都是数字,那么这个集合就是一个数集,代表元素就用一个小写字母。如果这个集合中的所有元素都是点(一个有序数对),那么这个集合就是一个点集,代表元素就用有序数对表示,即\left(x,y\right)。竖线右边是该集合元素的共同特征,多个条件要共同满足则用逗号连接。

例题:用描述法表示平面直角坐标系中第一象限内横坐标等于纵坐标的所有的点组成的集合。

点击查看答案。

\{\left(x,y\right)\mid y=x,x>0,y>0\}

根据集合中元素的个数,集合可分为有限集(集合中的元素个数有限),无限集(集合中有无数的元素),和空集(集合中没有任何元素)。空集是一个很特殊的集合,拥有一些特别需要记忆的性质,在题目中也通常是分类讨论的一个点,一般记作\varnothing

互异性这里会出很多的题,这里仅给出一道例题。

已知为非零实数,代数式的值所组成的集合为,则中的元素个数为:
1 个
2 个
3 个
本题的正确做法不是将三个未知数的正负情况列举出来,而是列举多少个未知数是正的,多少是负的。假设三个未知数都是正的,两个正的,一个正的,没有正的,共四种情况,可得
4 个

四、集合间的基本关系

集合与集合之间也有关系。

此处记集合A={川菜},集合B={鲁菜,浙菜,徽菜,闽菜,粤菜,苏菜,川菜,湘菜}。

一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,则这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A\subseteq B(或B\supseteq A),读作“A包含于B”或“A是B的子集”,或“B包含A”。

如果A\subseteq B,且B\subseteq A,则这两个集合中的元素是一样的,即两个集合相等,记作A=B

本例中两个集合的关系就可以记作A\subseteq B

如果A\subseteq B,但存在元素x\in B,且x\notin A,则集合A为集合B的真子集,记作A\subsetneqq B(或B\supsetneqq A),读作“A是B的真子集”,“A真包含于B”或“B真包含A”。

我们规定,空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集

由子集的定义,我们可以知道,任何集合是它自身的子集。如果A\subseteq B\subseteq C,则A\subseteq C

一个集合可以作为另一个集合的元素存在,比如\varnothing \notin \{0\}\varnothing\subseteq\{0\}\varnothing\in\{\varnothing\}\varnothing\subseteq\{\varnothing\}

在后续学习中,我们会用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图被称为韦恩图(Venn 图),可以去搜一搜。

Lake桑

2019.7.7

化学相关:金属

目录:化学相关:开坑预告及目录

上一期:化学相关:燃料

金属,或者说金属和金属材料,包括两类,即纯金属和合金。

纯金属是单质,也就是金属元素对应的单质都是纯金属,比如\rm Fe\rm Cu\rm Al等等。这些纯金属存在对应的合金。具体的来讲,一种金属熔合其他金属或非金属形成的材料就是合金。合金在初中阶段被定义为混合物,又因为它均匀,也可以视作溶液(但一般不这么说,也不用溶液的角度去解决金属问题),不考虑合金中各个粒子之间的分子间作用力。像黄铜,不锈钢,生铁都是合金。

注意,类似于\rm Fe_3O_4\rm CuO\rm CaCO_3等等之类的化合物不是合金,不是金属材料,它们只是存在金属元素的化合物,其中有一部分是金属氧化物,有一部分是盐,比如碳酸钙。下文会提到盐的定义。

人类历史上,是先从铜这种材料开始打开金属材料的大门的。后来发展到铁器,后来过了很长长长长一段时间(咕咕咕),铝制品也出现了,现在也有了钛和钛的合金的运用。

一、金属的物理性质

从物理性质上来说,金属大多数都呈银白色,有光泽,导电导热能力好,具有延展性。

当然金属也是有个性的。汞在常温下呈液态。铜是紫红色的。金是黄色的,铁粉等一些粉状金属是黑色的。

一般地来说,性质,价格,资源,美观度,便利性等都是一种材料怎么被使用的因素。

比如说,高压电缆采用铝制导线,就是因为它密度小不会因为自身重力而压断,而且耐腐蚀。

二、合金

在金属中熔合某些金属或者非金属,具有金属特征的混合物就是合金。

制合金是物理变化,并且各成分的熔沸点要有公共部分,各成分的化学性质在初中阶段是视为不变的。比如,钠的熔点与沸点分别是97.5℃和883℃,铁的熔点与沸点分别是1535℃和2750℃,那么钠与铁就没有合金。

钢是铁与碳的合金,所以钢在氧气中燃烧就伴随两个反应。

\rm 3Fe+2O_2\overset{\text{Fire}}{=\!=\!=}Fe_3O_4

\rm C+O_2\overset{\text{Fire}}{=\!=\!=}CO_2

生活中也存在一些其他常见的合金,比如生铁,同样也是铁和碳的合金。钢的含碳量约0.03%~2%,生铁则是2%~4.3%。黄铜,颜色似金,但是性质上有很多不同。纯金属是很软的,合金会比较硬,所以咬黄铜硌牙,咬纯金不硌牙,但是钱包会疼。黄铜是铜与锌的合金,所以通过锌的化学性质可以鉴别黄铜与金。

还存在一些其他的合金,比如不锈钢(铁铬镍),锰钢(铁锰碳),青铜(铜锡),白铜(铜镍),焊锡(锡铅),硬铝(铝铜镁硅),18K黄金(金银铜)。

合金比原来的纯金属硬度大,耐腐蚀性强,一般来说熔点也会降低(比如武德合金,熔点只有70℃),但是汞的合金,由于汞的熔点低于0℃,所以合金的熔点只好升高(即相对于另一个金属熔点降低)。

三、金属的化学性质

首先是金属与氧气的反应。

常温下,镁、铝等活泼金属会与氧气发生反应,生成金属氧化物,比如:

\rm 2Mg+O_2=\!=\!=2MgO

\rm 4Al+3O_2=\!=\!=2Al_2O_3

铝耐腐蚀主要是因为铝生锈(即上述反应)生成的氧化铝很薄,还很致密,所以保护了内部的铝。其他的生锈,一部分金属常温下与空气生成的东西不够致密,所以会全部被氧化,一部分金属生锈的条件不仅仅是氧气,生成的产物就不好说了。防止生锈,除了镀上不活泼金属以外,也可以镀上部分很活泼的金属,生成的产物就可以像不活泼金属一样保护了。

在点燃/加热/高温条件下,像镁这种活泼金属会与氧气剧烈反应,发出刺眼的白光,在常温下不会发生的情况也可能发生。比如铁在纯氧中是可以燃烧的,生成四氧化三铁。汞,铜等不太活泼的在加热条件下可以被氧化。

\rm 3Fe+2O_2\overset{\text{Fire}}{=\!=\!=}Fe_3O_4

\rm 2Hg+O_2\overset{\Delta}{=\!=\!=}2HgO

\rm 2Cu+O_2\overset{\Delta}{=\!=\!=}2CuO

金这类很不活泼的,在高温下也不与氧气反应。

然后是与酸反应。

这一类反应有规律可循的。比如,锌与稀硫酸反应,先把方程式左边写出来,也就是“Zn+H2SO4”。写上等号,在脑子里里面把正价的部分交换位置,写在右边,应该就是“ZnSO4+H2”,根据化合价写出正确的化学式,配平,标号即可。结果就是:

\rm Zn+H_2SO_4=\!=\!=ZnSO_4+H_2\uparrow

同理,铁,镁与稀盐酸稀硫酸反应也一样。

需要注意的是,铁在这类反应中,生成的产物中的铁元素都是正二价的亚铁,溶液的颜色显出浅绿色。

但是,当我们把所有金属全部放在酸里时,现象似乎不太一样。部分金属剧烈反应,部分比较慢,只有气泡。还有的压根就不反应。人们根据下一部分(金属与盐溶液反应,离这里有点远,先别急着往下翻)的内容,比较出了金属活动性的顺序。具体的来说,活动性在氢前面的金属都会与酸反应(下称这些金属为氢前金属),后面的都不反应,比如铜就不反应。

拓展一下。

等质量的氢前金属与足量的酸(本例的计算采用盐酸)反应,产生氢气的量的关系是什么呢?

你可以自己写方程式,设金属质量为m,氢气质量为a,计算镁铁锌铝与盐酸反应生成的氢气质量。这里直接给出结论。

金属与酸反应生成氢气的量,在酸足量时,与金属的化合价和相对原子质量有关。在化合物中显正二价的氢前金属,相对原子质量越小,氢气的量越大。铝在化合物中显正三价,生成氢气的量比正二价的氢前金属多。

但是如果酸不够,那么生成氢气的量只与酸的量有关(因为元素守恒,想一想为什么)。

部分实验题还会探究金属与酸反应过程中温度和气压的变化。一开始不反应,一般是因为外层的氧化膜与酸反应(酸的化学性质,与金属氧化物反应,生成盐和水,无气泡),后来开始反应,温度升高和酸的浓度降低都对反应速率有影响。其中,哪一个因素影响更大,会直接决定反应变快或变慢,直到反应结束,回到室温。

再然后是金属与盐溶液反应。

盐先补充一下,是金属阳离子(包括铵根离子)与酸根离子(包括氯离子)的化合物。

之前探究化学方程式时的一个方程式,湿法炼铜,即铁与硫酸铜溶液反应。

\rm Fe+CuSO_4=\!=\!=Cu+FeSO_4

这个反应就是金属与盐溶液反应。铁表面出现红色固体,溶液从蓝色变成浅绿色。

但是呢,铜和硫酸铝不反应,和硝酸银反应。依据这么个关系,反复试验,我们得出了金属的活动性顺序。大概是这样的。(在金属与盐溶液反应中不考虑钾钙钠,因为它们与水反应。)

钾钙钠镁铝,锌铁锡铅(氢),铜汞银铂金。

前面的金属置换后面的金属对应的盐,即以强换弱,距离越大,越优先反应。

这里会出金属活动性判断的实验题。方法就两种,金属与酸能否反应,金属与盐溶液能否反应,然后自己看。

四、金属资源的利用与保护

自然界中,金属一般以化合物存在,以单质存在的很少,比如金和微量的银。选取什么矿石冶炼最好也成了个问题。一般来说,含所需的金属元素多的,冶炼产物污染小的为最好。

以铁的冶炼为例。

实验室炼铁的原理如下。

\rm Fe_2O_3+3CO\overset{\text{High temperature}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}2Fe+3CO_2


以下烂尾。抱歉。

因为我准备写高中的(虽然不一定会有)。

以后再填吧。

Lake桑

2019.7.6

语文相关:圐圙

lüè

释义:(蒙)围起来的草场,多用于地名。现一般也译作“库伦”。

例:薛家圐圙(在山西省山阴),马家圐圙(在内蒙古)。

Lake桑

2019.5.24

“回”的四种写法。

《孔乙己》这篇文章,大概中国初中生都上过了。其中有个细节就是,“茴”这个字的“回”的部分有四样写法。

前三个字典上有。一是“回”,正字。二是“囘”,外“冂”内“巳”,古字。三是“囬”,“面”的下部,俗字。

有人说了:“不是说没有第四种写法吗?老师说了,这恰恰体现了他的迂腐。”他是迂腐没错,但的确有第四种写法,“𡇌”(⿴囗目)[1],即外“囗”内“目”,极罕见。

蔷薇的“蔷”,14画,繁体的“薔”,16画,但《红楼梦》第三十回的龄官画蔷的故事,却说是18画。这就是因为回的俗字“囬”的缘故。把回换成囬,再把草字头“艹”断开,写成旧字形[2]“十十”,就是18画了。

[1]:括号内虚线的字符叫做表意文字描述符,用这种描述符描述的表意文字的序列,称作“表意文字描述序列”(IDS)。

[2]:旧字形不是繁体字,是古代铅字印刷时,铅字的字形不统一导致的。被我们采用的叫做新字形,其他的就是旧字形,除了特地展示旧字形以外,其他地方印刷旧字形都属于印刷错误。

Lake桑

2019.5.8

语文相关:掬

释义:(动词,文学)用双手捧。

例句:~一捧泥土。

Lake桑

2019.4.30

化学相关:燃料

目录:化学相关:开坑预告及目录

上一期:化学相关:碳与碳的氧化物

下一期:化学相关:金属

燃料,可以燃烧的物质,根据状态可以分为固体燃料,液体燃料,气体燃料。其中,工业上最重要的三种燃料分别是石油天然气。人类还发现了一些新能源,比如太阳能,核能,可燃冰等等。

既然可以燃烧,我们定义一下燃烧吧。燃烧,就是可燃物与氧气反应发生的一种发光、放热的剧烈氧化反应

从以上定义我们可以看出,燃烧需要三个条件:

  • 可燃物
  • 氧气一定浓度以上
  • 温度达到着火点

探究一:燃烧条件

首先,我们探究可燃物的有无。将小木条与小石子分别放在酒精灯上加热。我们发现,小石子没有燃烧。这说明有可燃物是燃烧的必要条件之一。

然后我们探究氧气的有无(即浓度,做题时,除非探究浓度,否则写有无)。将两根完全相同的蜡烛点燃,一根放在玻璃钟罩内,一根放在开阔空气中。我们发现,玻璃钟罩内的蜡烛过一会儿熄灭了。这说明有氧气是燃烧的必要条件之一。(不考虑氧气消耗不完,除非题目要求考虑)

最后,我们探究是否达到着火点的影响。将小木条与煤块放在酒精灯上烧。观察实验现象可得,温度达到着火点也是燃烧的必要条件之一。

探究二:可燃物的燃烧条件

我们知道,磷是可燃的。但是磷单质不止只有红磷,还有白磷。我们知道,白磷的着火点比红磷的着火点低。

准备一只盛有热水的烧杯,一块铜片,三粒相同大小的磷,其中两粒是白磷,一粒红磷。

往热水中放入一粒白磷。盖上铜片。铜片上放两粒磷,一粒红磷,一粒白磷。我们观察到,烧杯内的白磷不燃烧,铜片上的红磷不燃烧,白磷燃烧。

这个实验我们可以得到所有的三个结论。

那么,怎么灭火呢?由上述结论可知,只要将上述一个必要条件不满足,便不会燃烧。于是,灭火有以下方法:

  • 清除可燃物
  • 隔绝氧气
  • 降温至着火点以下

那,爆炸是什么?

大部分爆炸其实也是燃烧,只不过不大一样。除气球爆炸(不是燃烧,它是物理变化)外,大部分爆炸都是燃烧。爆炸有两个条件:

  • 遇明火
  • 在有限空间内,可燃性的气体或粉尘与氧气混合,并且达到爆炸极限

可燃物质(可燃气体、蒸气和粉尘)与空气(或氧气)必须在一定的浓度范围内均匀混合,形成预混气,遇着火源才会发生爆炸,这个浓度范围称为爆炸极限,或爆炸浓度极限

引自 百度百科

为了防止爆炸,我们可以换气通风,杜绝明火。

再讲一讲三大化石燃料吧。

三大化石燃料,分别是煤(工业的粮食)、石油(工业的血液)和天然气。

对富含碳元素的煤,通过干馏(化学变化),可以获得焦炭,煤气等等。对于富含碳、氢元素的石油,通过分馏(物理变化),我们可以获得汽油,煤油,柴油等等。

天然气的主要成分就是甲烷。燃烧的化学方程式如下。

\rm CH_4+2O_2\overset{\text{Fire}}{=\!=\!=}CO_2+2H_2O

之前我们学过如何检测燃烧的产物(干冷烧杯还记得吗?),与之前不同的是,这一次我们是将烧杯迅速正放,倒入澄清石灰水(为什么?(溶解度,后面会讲))。

我们需要合理利用化石资源。包括保证充足的氧气,足够大的接触面积,等等。

在这里我们总结一下化学反应的能量变化。

放热反应,现在这个系列提到过的,包括所有氧化反应,金属与酸反应,过氧化氢制取氧气,氧化钙与水反应放热。吸热的初中要求掌握碳还原二氧化碳。

除了以上的化石燃料,还存在新能源。

乙醇(\rm C_2H_5OH),也就是酒精,是可以再生的。后面挂着不是氢氧根,是一个羟基(官能团,初中不要求掌握)。如果你忘了乙醇的化学式,你可以这么做。

请看左边的。

如左边,先画一个碳,旁边加上四个棍子(键),右边再画一个碳,再画三个键。(为什么是乙呢,就是因为有两个碳,甲就是一个碳,甲乙丙丁戊往下排代表碳的个数)先在最右边画上羟基,然后其他方向补上氢。甲烷,因为是甲,所以画一个碳,周围画四个键,全部添上氢。同理乙烷丙烷丁烷,先画几个连起来的碳,然后周围全是氢。

氢气也是新能源,产物只有水,十分清洁,热值也大,但是由于氢气生产成本高,不易储存运输,使用过于危险,所以现在并不常使用。

你猜我更不更金属。

Lake桑

2019.3.30